29/09/2026
bellissimo scritto!
CIÒ CHE L'INFINITO NON RACCONTA
Il teorema spettrale, la decomposizione a valori singolari e una scoperta che la comunità matematica continuò a dimenticare
Nel febbraio del 1855 il Collegio Ghislieri di Pavia espulse sei studenti, accusati di aver provocato disordini contro il rettore, l'abate Leonardi. Uno di loro aveva diciannove anni, veniva da Cremona, da una famiglia di artisti in cui il nonno incideva cammei su pietre dure, e si chiamava Eugenio Beltrami. Il posto al collegio gli era stato concesso da una fondazione benefica, e con il posto se ne andò anche la possibilità di mantenersi agli studi, cosicché l'anno seguente dovette abbandonarli, senza laurea, e una laurea non l'avrebbe presa mai.
Nel novembre del 1856 trovò impiego a Verona come segretario dell'ingegnere Diday, nell'amministrazione delle strade ferrate che l'Impero austriaco andava stendendo attraverso la pianura lombardo-veneta, e fra le carte di quell'ufficio passò più di due anni. Nel gennaio del 1859 fu licenziato per ragioni politiche, pochi mesi prima che la guerra consegnasse la Lombardia al Piemonte, e quando le cose si furono sistemate l'ingegnere trasferì l'ufficio a Milano e riprese con sé il suo segretario. A Milano Beltrami ricominciò da capo lo studio della matematica, frequentò l'Osservatorio di Brera, provò a insegnare nelle scuole secondarie e si sentì rispondere che senza laurea non poteva.
Due sue memorie, scritte in quelle condizioni, capitarono sotto gli occhi di Francesco Brioschi, che era stato suo professore a Pavia e che era diventato nel frattempo segretario generale del ministero dell'Istruzione del nuovo Regno. Nel 1862 Brioschi lo fece nominare, senza concorso, professore straordinario all'Università di Bologna. Beltrami aveva ventisei anni, un passato da segretario ferroviario e nessun titolo, e da quel momento cominciò una carriera che lo avrebbe portato a Pisa, di nuovo a Bologna, a Roma, a Pavia, alla presidenza dell'Accademia dei Lincei e, pochi mesi prima di morire, al Senato.
Il lavoro per cui oggi è più noto è del 1868, quando mostrò che la geometria non euclidea di Lobačevskij, che molti consideravano un gioco di logica senza oggetto, si poteva realizzare concretamente su una superficie a forma di tromba, la pseudosfera. Ma la storia che ci interessa è un'altra, più piccola, e comincia con nove pagine pubblicate nel 1873.
Nove pagine per gli studenti
Il Giornale di Matematiche era una rivista napoletana fondata dieci anni prima da Giuseppe Battaglini, e il suo titolo completo diceva a chi fosse rivolta, cioè all'uso degli studenti delle università italiane. Non era il luogo in cui un matematico europeo sarebbe andato a cercare un risultato nuovo, e infatti nessuno ve lo cercò. Nel volume undicesimo, alle pagine da 98 a 106, Beltrami pubblicò una nota intitolata Sulle funzioni bilineari.
Per capire che cosa contenesse bisogna fare un passo indietro, fino a un risultato che Augustin-Louis Cauchy aveva dimostrato nel 1829 riprendendo problemi incontrati da Eulero e da Lagrange nello studio dei moti planetari e della rotazione dei corpi rigidi.
Una trasformazione lineare del piano, o dello spazio, è un'operazione che prende ogni vettore e lo porta in un altro rispettando somme e multipli, e la si può descrivere con una tabella di numeri, una matrice, del tutto simile a un foglio di calcolo, o a una fotografia in bianco e nero, che per un calcolatore non è altro che una tabella in cui ogni numero indica la luminosità di un punto. Presa così, la tabella è in genere un groviglio, perché ogni numero mescola fra loro le direzioni e non si capisce a colpo d'occhio che cosa la trasformazione faccia davvero. Cauchy dimostrò che per una famiglia importante di trasformazioni, quelle simmetriche, il groviglio è soltanto apparente. Esiste sempre un sistema di assi fra loro perpendicolari rispetto ai quali la trasformazione si limita a moltiplicare ciascun asse per un numero, senza mescolarli, e tutta la complicazione della tabella dipendeva unicamente dall'aver scelto un riferimento storto. Quei numeri si chiamano autovalori, e possono anche essere negativi, nel qual caso la direzione corrispondente viene capovolta. Il risultato, esteso all'inizio del Novecento, a partire dai lavori di Hilbert, agli spazi a infinite dimensioni, è quello che oggi porta il nome di teorema spettrale.
Il teorema ha però un limite preciso, perché vale per le trasformazioni simmetriche e poco oltre, e basta un esempio domestico per vederlo cadere. Prendete un mazzo di carte appoggiato sul tavolo e spingetene la parte superiore di lato, così che ogni carta scivoli un po' più di quella sotto. La trasformazione che ne risulta, che i matematici chiamano scorrimento, lascia ferma una sola direzione, quella orizzontale, e il teorema di Cauchy non vi si applica, perché la trasformazione non è simmetrica e nessun sistema di assi perpendicolari la riduce a una semplice moltiplicazione lungo ciascun asse.
La nota di Beltrami rispondeva a questa difficoltà con un'idea di grande semplicità. Se non esiste un solo riferimento in cui la trasformazione diventi così semplice, se ne possono usare due, uno per i vettori in entrata e uno per quelli in uscita, entrambi fatti di assi perpendicolari ma diversi fra loro. Con questa concessione ogni trasformazione, senza alcuna eccezione, si scompone in tre gesti successivi, una rotazione, un allungamento o accorciamento lungo assi perpendicolari e un'altra rotazione, dove ciascuna delle due rotazioni può essere accompagnata, se serve, da un ribaltamento come quello di uno specchio. I fattori del gesto centrale, che questa volta non sono mai negativi, sono oggi chiamati valori singolari, e l'intera scomposizione porta il nome di decomposizione a valori singolari.
L'immagine che la rende evidente è quella del cerchio. Qualunque trasformazione lineare del piano porta il cerchio di raggio uno in un'ellisse, magari schiacciata, magari inclinata, e la decomposizione non fa altro che trovare gli assi di quell'ellisse, dire quanto sono lunghi, e indicare da quali diametri del cerchio provengono. Il mazzo di carte spinto di lato, che per Cauchy restava fuori portata, per Beltrami era un'ellisse come tutte le altre.
C'è un'informazione in più che la decomposizione porta con sé, e che si sarebbe rivelata la più preziosa. Gli assi dell'ellisse hanno lunghezze diverse, e la loro lunghezza dice quanto conti ciascuna direzione. Lungo un asse lungo la trasformazione fa molto, lungo un asse corto fa quasi niente, e si può quindi mettere in fila ciò che una tabella di numeri contiene, dal più importante al trascurabile.
La dimostrazione di Beltrami, va detto, aveva una lacuna, perché in un passaggio presupponeva l'esistenza di ciò che stava cercando di stabilire. Se ne sarebbe accorto, più di un secolo dopo, lo storico che ne ricostruì la vicenda.
Parigi, 1874
L'anno seguente, a Parigi, Camille Jordan, ingegnere minerario che faceva matematica nel tempo che la professione gli lasciava, presentò all'Accademia delle Scienze una nota sulla riduzione delle forme bilineari, e poco dopo pubblicò sul Journal de mathématiques pures et appliquées una memoria più ampia. Conteneva lo stesso risultato, ottenuto per una via diversa e più completa, e non citava Beltrami, del cui lavoro con ogni probabilità non sapeva nulla.
Due uomini, a un anno di distanza, arrivarono dunque allo stesso teorema senza conoscersi. È una cosa che in matematica accade più spesso di quanto si creda, e non ci sarebbe molto da aggiungere se la storia si fosse fermata lì, con il teorema entrato nei manuali e i due nomi appaiati. Invece il teorema, dopo essere stato trovato due volte, cominciò a essere dimenticato.
Il 1889
Nel 1889 Beltrami insegnava a Pavia, nella città in cui da ragazzo era stato cacciato dal collegio, e quell'anno presentò all'Accademia dei Lincei una nota di storia della matematica dedicata a un gesuita morto nel 1733, Girolamo Saccheri.
Saccheri aveva pubblicato, nell'anno della sua morte, un libro in latino il cui titolo prometteva di liberare Euclide da ogni macchia. Voleva dimostrare il postulato delle parallele per assurdo, e per farlo aveva supposto che fosse falso e ne aveva dedotto una conseguenza dopo l'altra, con una pazienza e un rigore che nessuno prima di lui aveva messo in quell'impresa. Senza saperlo stava costruendo la geometria non euclidea, un secolo prima di Lobačevskij e di Bolyai. Arrivato in fondo, trovò le conseguenze così contrarie alla natura della retta da dichiararle impossibili, credette di aver concluso, e il libro finì dimenticato per più di un secolo e mezzo. Beltrami, che conosceva quella geometria meglio di chiunque in Italia, lo lesse, ne riconobbe il valore e lo restituì al mondo.
Nello stesso anno, a Oxford, dove teneva la cattedra savilliana di geometria, James Joseph Sylvester, ormai vicino ai settantacinque anni, pubblicò sul Messenger of Mathematics un lavoro in cui mostrava come ridurre una forma bilineare a una somma di prodotti mediante quella che chiamava una doppia sostituzione ortogonale, cioè la stessa riduzione di Beltrami e di Jordan, senza citare né l'uno né l'altro.
Così, mentre a Pavia l'uomo che aveva scoperto il teorema salvava dall'oblio un gesuita del Settecento, a Oxford il suo teorema veniva riscoperto da capo da qualcuno che non sapeva della sua esistenza.
Le riscoperte
Il Novecento continuò allo stesso modo, e le riscoperte si moltiplicarono in campi che non si parlavano fra loro.
Nel 1901 lo statistico Karl Pearson, che non si occupava di forme bilineari ma di nuvole di punti sperimentali, si chiese quale fosse la retta, o il piano, che meglio approssima un insieme di misure sparse, e la risposta che trovò è la stessa geometria dell'ellisse, applicata ai dati invece che alle trasformazioni, senza che allora nessuno ne vedesse la parentela con le forme bilineari. Nel 1907 Erhard Schmidt ne costruì la versione a infinite dimensioni, per le equazioni integrali, e dimostrò anche come usarla per approssimare nel modo migliore un operatore complicato con uno più semplice. Negli anni successivi il francese Léon Autonne la ritrovò per le matrici a valori complessi.
Nel 1936 il fisico Carl Eckart e il matematico Gale Young pubblicarono su Psychometrika, una rivista di psicologia quantitativa, un articolo in cui dimostravano che la decomposizione fornisce la migliore approssimazione possibile di una matrice mediante una matrice di rango inferiore, cioè costruita con un numero minore di componenti indipendenti. La rivista era quella adatta perché il problema interessava chi cercava di capire quanti fattori indipendenti bastassero a spiegare i punteggi dei test psicologici. Il risultato oggi porta i loro nomi, anche se, come avrebbe osservato Stewart, Schmidt lo aveva già ottenuto trent'anni prima, ed è alla base di molti metodi di riduzione dei dati.
Ogni volta la decomposizione compariva in un campo diverso, per rispondere a una domanda diversa, con una conoscenza parziale o nulla di ciò che era già stato fatto, e per sessant'anni rimase un teorema che tutti potevano trovare e che nessuno ricordava di aver trovato.
A fissarla definitivamente fu il calcolo. Nel 1965 Gene Golub e William Kahan pubblicarono un metodo per calcolare i valori singolari di una matrice con un calcolatore in modo stabile, e nel 1970 Golub e Christian Reinsch ne diedero l'algoritmo da cui discendono quelli usati ancora oggi. Da allora la decomposizione non è più stata dimenticata, perché è diventata impossibile da evitare, e la si trova in una quantità di strumenti che usiamo ogni giorno senza saperlo. Golub, che i colleghi chiamavano a volte professor SVD, dalle iniziali inglesi della decomposizione, scelse proprio quella sigla per la targa della sua automobile.
Nel 1993 il matematico G. W. Stewart ricostruì questa storia in un articolo che dedicò a Golub per il suo quindicesimo compleanno. Golub era nato il 29 febbraio 1932, e l'anno prima aveva compiuto sessant'anni.
A che cosa serve
Prendete una fotografia in bianco e nero di mille punti per mille, cioè una tabella di un milione di numeri. La decomposizione la riscrive come una somma di strati, ciascuno molto semplice e accompagnato dal suo valore singolare, ordinati dal più importante al meno importante. I primi strati contengono le forme principali dell'immagine, i successivi i dettagli, gli ultimi quasi soltanto granulosità. Se si conservano i primi cinquanta strati e si butta via il resto, bastano circa centomila numeri invece di un milione, e l'immagine resta ben riconoscibile. È il teorema di Eckart e Young a garantire che nessun altro modo di conservare lo stesso numero di strati darebbe un risultato migliore.
Lo stesso principio lavora in situazioni in cui non si vede nulla. Immaginate una tabella in cui le righe sono milioni di persone, le colonne migliaia di film, e ogni casella contiene il voto che una persona ha dato a un film, con la grande maggioranza delle caselle vuote perché nessuno ha visto tutto. I metodi che derivano dalla decomposizione scoprono che quei voti sono spiegati in buona parte da pochi gusti nascosti, come la preferenza per l'azione o per le storie sentimentali, che corrispondono agli assi più lunghi, e da quei pochi assi si possono stimare i voti mancanti, cioè indovinare che cosa vi piacerebbe vedere. Nel 2006 un'azienda di noleggio di film mise in palio un milione di dollari per chi avesse migliorato del dieci per cento le sue previsioni, e fra i metodi che vinsero, nel 2009, quelli costruiti su questa idea ebbero un ruolo decisivo.
E c'è un terzo uso, forse il più antico. In una serie di misure il segnale vero tende a concentrarsi lungo pochi assi lunghi, mentre il rumore degli strumenti si distribuisce più o meno uniformemente su tutti, compresi quelli corti. Eliminando gli assi corti si toglie una buona parte del rumore conservando quasi tutto il segnale, ed è nella sostanza la stessa operazione che Pearson aveva cercato nel 1901 per le sue nuvole di punti.
Ciò che l'infinito non racconta
Il passo che segue è una riflessione, non un teorema, e nulla di ciò che precede lo dimostra.
Vale la pena tornare al rapporto fra autovalori e valori singolari, perché nasconde qualcosa di più interessante della questione del riferimento.
Gli autovalori si possono calcolare per qualunque trasformazione, anche per quelle a cui il teorema spettrale non si applica, e quando la trasformazione descrive un sistema che evolve nel tempo rispondono a una domanda precisa. Descrivono il comportamento asintotico delle perturbazioni, cioè dicono se, quando il tempo cresce senza limite, una piccola perturbazione tenderà a crescere o a spegnersi, e con quale ritmo esponenziale. È la domanda che si fa ogni ingegnere quando vuole sapere se una struttura, un circuito o un flusso sono stabili. Di per sé, però, gli autovalori non dicono quanto una perturbazione possa crescere prima di arrivare al suo destino.
A questa seconda domanda rispondono i valori singolari, presi non della trasformazione ma dell'operatore che porta il sistema dall'istante iniziale a un istante dato, perché misurano di quanto una perturbazione possa essere amplificata in quel momento. Quando la trasformazione è simmetrica, o più in generale appartiene alla famiglia a cui il teorema spettrale si applica, le due risposte si accordano, e conoscere gli autovalori basta. Dove il teorema spettrale smette di valere, le due risposte si separano, e possono separarsi in modo vertiginoso.
Un esempio minimo basta a vederlo. Considerate il sistema
x′ = −x + 100 y, y′ = −2 y,
in cui due grandezze, lasciate a se stesse, si spegnerebbero entrambe, la prima più lentamente e la seconda più in fretta, ma la seconda, mentre si spegne, alimenta la prima con un coefficiente molto grande. Gli autovalori sono −1 e −2, entrambi negativi, e dicono con perfetta esattezza che qualunque perturbazione, alla fine, sparirà. Eppure, partendo da x = 0 e y = 1, si trova x(t) = 100(e⁻ᵗ − e⁻²ᵗ), che sale fino a 25 prima di ridiscendere. La perturbazione si amplifica di venticinque volte e soltanto dopo si spegne, e gli autovalori, che descrivono il destino finale, non vedono nulla di questo passaggio, mentre i valori singolari lo misurano esattamente.
Nel 1883 Osborne Reynolds fece scorrere dell'acqua in un tubo di vetro e vi immise un sottile filo di colorante. A bassa velocità il filo restava diritto, teso lungo l'asse del tubo come un segno tracciato con la riga, e oltre una certa velocità tremava, si spezzava in vortici e si disperdeva nell'acqua. Da allora la domanda su quando e perché un flusso ordinato diventi turbolento è una delle più antiche della fisica.
Per molto tempo la stabilità fu studiata soprattutto attraverso gli autovalori, e in diversi casi con pieno successo, come per l'acqua fra due cilindri che ruotano l'uno dentro l'altro, dove nel 1923 Geoffrey Taylor vide comparire l'instabilità esattamente dove la teoria la prevedeva. Ma per alcuni importanti flussi di taglio le previsioni dell'analisi basata sugli autovalori non coincidevano con ciò che si osservava in laboratorio. Per il flusso in un tubo la teoria lineare non prevede alcuna instabilità, a nessuna velocità, e i calcoli l'hanno confermato fino a velocità che nessun laboratorio può raggiungere, mentre in laboratorio la turbolenza compare puntualmente. Per il flusso fra due piastre parallele la teoria prevedeva l'instabilità soltanto a velocità diverse volte superiori a quelle a cui l'esperimento la mostrava.
All'inizio degli anni Novanta diversi gruppi, fra cui quello di Lloyd Trefethen, che pubblicò su Science un articolo intitolato provocatoriamente Stabilità idrodinamica senza autovalori, mostrarono che le equazioni di questi flussi sono proprio del tipo in cui le due descrizioni si separano. Gli autovalori dicono che ogni piccola perturbazione alla fine si spegnerà, e hanno ragione, ma prima di spegnersi certe perturbazioni si amplificano di fattori enormi, tanto più grandi quanto più il flusso è veloce, e quando diventano abbastanza grandi entrano in gioco effetti che la teoria lineare trascura del tutto. La crescita transitoria non esaurisce la spiegazione della transizione alla turbolenza, che coinvolge anche effetti non lineari, ma è oggi riconosciuta come un elemento importante della dinamica.
Mi sembra che qui compaia una forma di eccedenza diversa da quelle che abbiamo incontrato finora. La descrizione fornita dagli autovalori non è sbagliata, e anzi è completa rispetto alla domanda che pone. Solo che quella domanda riguarda ciò che accade quando il tempo cresce senza limite, il destino ultimo della perturbazione, mentre il fenomeno accade in un tempo finito, nel passaggio, e il passaggio resta fuori dalla risposta per costruzione e non per imprecisione. L'infinito, in questo senso, è un'impronta che del processo conserva soltanto l'esito e lascia cadere tutto ciò che accade prima di arrivarci, compreso ciò che decide se ci si arriverà mai in quel modo.
Per molto tempo, nello studio di questi flussi, stabilità ha significato, senza che nessuno lo dicesse, stabilità nel lungo periodo, e le due cose sono sembrate la stessa finché i flussi non hanno continuato a diventare turbolenti contro le previsioni. Le due descrizioni erano entrambe vere, rispondevano a due domande diverse, e credevamo di porne una sola.
E c'è un'ironia che chiude il cerchio. Lo strumento capace di misurare ciò che accade nel finito era il teorema nato dove il teorema spettrale non arriva, quello che Beltrami aveva pubblicato in una rivista per studenti e che la matematica aveva trovato e dimenticato per sessant'anni. Stava lì, pronto, da prima che Reynolds versasse il suo colorante nell'acqua, e per decenni quasi nessuno pensò di cercare la risposta da quella parte.
Il filo di colore, nel tubo di vetro, resta diritto per un tratto, poi comincia a tremare, e soltanto dopo si spezza. Gli autovalori sanno dire come finirà, ma del tremito non sanno niente.
Riferimenti essenziali
Eugenio Beltrami, Sulle funzioni bilineari, Giornale di Matematiche ad uso degli studenti delle università italiane 11 (1873), pp. 98-106, per la prima pubblicazione della decomposizione.
Camille Jordan, Mémoire sur les formes bilinéaires, Journal de mathématiques pures et appliquées, seconda serie, 19 (1874), pp. 35-54, per la scoperta indipendente e la prima trattazione completa.
G. W. Stewart, On the Early History of the Singular Value Decomposition, SIAM Review 35 (1993), pp. 551-566, per la ricostruzione storica delle scoperte e riscoperte, la lacuna nella dimostrazione di Beltrami e il contributo di Schmidt.
Carl Eckart e Gale Young, The approximation of one matrix by another of lower rank, Psychometrika 1 (1936), pp. 211-218, per il teorema di migliore approssimazione.
Gene H. Golub e William Kahan, Calculating the Singular Values and Pseudo-Inverse of a Matrix, SIAM Journal on Numerical Analysis, serie B, 2 (1965), pp. 205-224, per il primo metodo di calcolo stabile.
Gene H. Golub e Christian Reinsch, Singular Value Decomposition and Least Squares Solutions, Numerische Mathematik 14 (1970), pp. 403-420, per l'algoritmo da cui discendono quelli attuali.
Osborne Reynolds, An experimental investigation of the circumstances which determine whether the motion of water shall be direct or sinuous, Philosophical Transactions of the Royal Society 174 (1883), pp. 935-982, per l'esperimento del filo di colorante.
Lloyd N. Trefethen, Anne E. Trefethen, Satish C. Reddy e Tobin A. Driscoll, Hydrodynamic Stability Without Eigenvalues, Science 261 (1993), pp. 578-584, per la crescita transitoria e il ruolo della non normalità nella transizione alla turbolenza.
